狸系の里 シーズン2

はじめの一歩、二歩、散歩・・

研究活動を観察する目で見た数学と物理

「音楽の科学的研究」という言葉に具体的な内容を盛るには、まず、「科学的研究」を観察してその特徴を明かすことが必要になる。「研究活動」を研究する分野にどのようなものがあるかと言うと、情報科学の関係者にとっては、情報科学の源流を手繰った先にある数学基礎論が目につく。

数学基礎論が注目される発端は、数学の基礎の所にある集合論に、論理的一貫性に関する疑いが出たことにある。集合論を公理的に書こうとして、すべての集合を要素に持つ集まりをxと書き、この(明確に定義されたものの集まり)xを集合と認定すると、x∈xとその否定¬x∈xとが同値であることが証明される*1。後に、すべての集合を要素に持つ集まりは集合にはならない*2ことが判って、集合論が矛盾することはないという結論が得られた。この結論に至るまでに、数学基礎論が重要な役割を果たす。

 

数学基礎論の部門の一つにモデルの理論がある。ここでは数学の研究活動を次の図のように捉えている。

数学の研究活動は下記の図式に拠り行われる。言語を使って対象を書く点がポイント。

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図の出典

月刊マセマティックス SYMPOSIUM2 数学基礎論 海洋出版株式会社

本橋信義著、モデルの理論、122頁図3に基づき作図。

 

モデルの理論はこの図を観察対象とする活動として導入される。図式的には次のとおり。

 

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出典

月刊マセマティックス SYMPOSIUM2 数学基礎論 海洋出版株式会社

本橋信義著、モデルの理論、123頁図6に基づき作図。

 

数学上の未解決問題の扱いは一つの問題であるが、モデルの理論では、言語L*3上で完全かつ健全となるように、論理LOに言語Lの文を補っている。その結果、論理LOの健全性・完全性が保証されるが、具体的な判り易さが失われる。(ゲーデル不完全性定理とは前提が異なる。)

 

音楽は演奏という具体的な行為により生成された、音という物理現象が運ぶ何者かであると言える。この実世界における具体的な存在を捉える仕組みが、モデルの理論の枠組みには欠けている。そこで、数学基礎論の発想を尊重し、かつ実世界との対応関係を設定できるように、物理学の研究活動を観察対象とする基礎論を考えてみる。実体と観測という要素を追加して、次の図式を作る。

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「実体」(実世界の要素)を追加する理由は、例えば次のとおり*4

速度を定義するために使う「瞬間」dtは、どんな小さな正数より小さいという理由で、実数集合に含めることができない。

εδ論法によれば「瞬間」は、どんなに小さな時間幅Δtよりも狭い時間幅0<dt<Δtと考えることになるが、実世界を考えるとこのdt、実世界で実体の配置がとる状態であると解釈することができる。

物理学は実験データから法則を得る活動*5と、この法則に基づいて自然現象を説明する活動*6とからなり、この二つがバランスをとりつつ成長してきた。ここで理論物理学の活動を、(有限な)観測データから法則を帰納的に得る活動として特徴付け、実験物理学の活動を、帰納的な法則を一つの仮説として、この仮説の妥当性を演繹的な方法を使って確認する活動として特徴付ける。このとき、物理学の研究活動は次の図式で書かれる。

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この図が、モデルの理論における数学的構造に対応する。数学的構造を観察対象とする部分に対応する図式は、この図式を構成する各要素の特性を与えるものになる。*7

 

この図には、一つの自然現象が三つの形をとって現れている。

原型:自然現象そのもの

対象:対象に関する観測データの集まり

模型:仮説としての理論から創られた模型

 

物理学ではこの三つの形が、いつでも、誰にも、どこでも一貫するように、次の工夫を育ててきた。

  • 実体のもつ特徴は、決められた単位が付いた量を使って表す。単位は物理学に係わる全ての参加者に共通に決められている。
    • 例えばMKSA、メートル、キログラム、秒、アンペア
  • 特徴を測定する計測器は、共通の測定精度が定義され、精度を校正する手段が与えられている。
  • 物理法則は、単位付きの量の間に成立する数学モデルを使って書かれる。変形の過程に拠らず、結果は同じになる。

 

物理学が扱う自然は(哲学的に言えば)、観測の結果与えられる対象か、あるいは、理論から構成される模型であり、実体ではない。この三者は、理論が受け入れられるものであれば、観測の範囲で区別がつかないはずのものとなる。実際、例えば高所から金属球を落とす実験では、金属球は、運動中に形が変わらないものとして扱われ、重心に全重力をかけ、重心点の運動として模型化される。

 

音楽は実世界である役割を負いつつ継承され、発展してきた。そのため、実世界との係わりを与える仕組みを欠いた理論を適用しても、期待する結果には届かないのではないかと考えている。例えば、音の高さを時間に沿ってグラフ化した場合、そのグラフを五線譜が使っている仕組みをそのまま使って階段化しても、もとの歌とは異質なものになるだろう。結局、与えられた音楽のもつ性質を調べて、その性質を書きやすい言語*8を設計し、実装して、実際に音楽を記録して、さらに詳しくその音楽の性質を調べる、という活動を継続することになるのだろう。

 

筆者には日本音楽について心配事がある。日本音楽はこれまで、継承する団体が相互に係わることなく自由に展開してきた。そのため、全体像を聞かれると回答がとても難しい。こういった場合、きわめて浅い理解で考えがちになる。例えば、日本の歌については、7拍と五拍の組み合わせということはよく知られているが、様々な歌の、それぞれの唱え方にはどのような共通性と個性とがあるかを考えると判らなくなる。浅いイメージが先行して、例えば御詠歌というと高齢者の歌う何か、位のイメージになってしまうのだが、譜を見てみると声明の古博士の書き方に準拠していてますます遠い存在になってしまう。

古い写真が色あせるように記憶が消えてゆくとしたら、日本語の文化資産を失いという意味で惜しい気がするので、情報民族音楽学という活動がこれからも続けられるようなら、日本の歌の記録を整理してみたいと思っている。

 

追記

実際には、家族の介護などがあり、なかなか作文の時間がとれないという事があるのだが。

*1:Russelのパラドックス。この証明が一貫性を以って成立すると集合論は矛盾していることになる。

*2:集合より上位の、クラスとなる。

*3:一階述語論理式の形をした文字列

*4:ここの論は観察結果を整理して纏めたものであり、科学哲学との係わりは意識していない。

*5:理論物理学

*6:実験物理学

*7:検証に成功すれば成功例として記録し、充分な成功事例が蓄積されればその法則は「認められる」ものと認証し、失敗すれば失敗例として記録し、原因を解析する。法則に原因があるという結論が出た場合には、旧法則とは別個に、新しい法則を求める帰納的手続きを開始する。旧法則が誤りであったのではなく、検証に使った条件にはその法則が適合しない、ということ。

*8:その言語の自然な書き方で、特質を歪めることなくその音楽を書ける。ここで言語には、例えば楽譜、注釈付きグラフを含む。